Log3(1+x)+log3(2+x)=log3(2+1)

Для решения уравнения ${\log }_3(1+x)+{\log }_3(2+x)={\log }_3\left(3\right)$ воспользуемся свойствами логарифмов и последовательно выполним преобразования. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

• $1+x>0⟹x>-1$ $2+x>0⟹x>-2$

Общим условием для обоих выражений является $x>-1$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_3\left(\right(1+x\left)\right(2+x\left)\right)={\log }_3\left(3\right)$Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $(1+x)(2+x)=3$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $2+x+2x+x^2=3$ $x^2+3x+2-3=0$ $x^2+3x-1=0$Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$: $D=3^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=9+4=13$Корни уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$ 4. Проверка по ОДЗ Нам необходимо, чтобы $x>-1$.

• Оценка $x_1$: $\sqrt{13}$ примерно равно $3.6$.
  $x_1\approx \frac{-3+3.6}{2}=\frac{0.6}{2}=0.3(0.3>-1)\text{— корень подходит.}$ Оценка $x_2$:
  $x_2\approx \frac{-3-3.6}{2}=\frac{-6.6}{2}=-3.3(-3.3<-1)\text{— корень не подходит.}$

Ответ: $x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$ Я могу помочь решить аналогичное уравнение с другими основаниями или разобрать систему логарифмических уравнений. Могу ли я приступить к разбору другой задачи?