2(xy+y)dx=xdy найти общее решение с разделяющими переменными

Общим решением данного дифференциального уравнения является функция $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{C}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{x}}$. Шаг 1: Разделение переменных Для решения уравнения методом разделения переменных преобразуем левую часть, вынеся общий множитель $y$ за скобки: $2y(x+1)dx=xdy$ Теперь разделим переменные, перенеся все выражения с $y$ к дифференциалу $dy$, а выражения с $x$ к $dx$. Разделим обе части на $xy$ (при условии $x\ne 0$ и $y\ne 0$): $\frac{2(x+1)}{x}dx=\frac{dy}{y}$ Разделим почленно числитель в левой части: $2(1+\frac{1}{x})dx=\frac{dy}{y}$ Шаг 2: Интегрирование Проинтегрируем обе части полученного уравнения: $\int 2(1+\frac{1}{x})dx=\int \frac{dy}{y}$ Вычислим интегралы, используя табличные значения: $2(x+\ln |x\left|\right)+C_0=\ln \left|y\right|$ $2x+2\ln \left|x\right|+C_0=\ln \left|y\right|$ Шаг 3: Нахождение общего решения Используя свойства логарифмов ( $a\ln b=\ln b^a$), преобразуем уравнение для выделения $y$: $2x+\ln \left(x^2\right)+C_0=\ln \left|y\right|$ Пропотенцируем обе части (возведем $e$ в степень каждой из частей): $e^{2x+\ln \left(x^2\right)+C_0}=\left|y\right|$ $e^{2x}\cdot x^2\cdot e^{C_0}=\left|y\right|$ Заменим константу $\pm e^{C_0}$ на произвольную постоянную $C$. Также заметим, что $y=0$ является решением, которое входит в семейство решений при $C=0$. Ответ: Общее решение уравнения: $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{C}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{x}}$, где $C$ — произвольная постоянная. Требуется ли вам проверить решение подстановкой или найти частное решение для конкретной точки?