X^4-2x^3-x^2+2x=0 как решать это уравнение?

Для решения уравнения четвёртой степени $x^4-2x^3-x^2+2x=0$ наиболее эффективным методом является разложение на множители. Способ 1: Группировка слагаемых Сгруппируем слагаемые парами так, чтобы в каждой паре можно было вынести общий множитель:

1. Группировка:
   $(x^4-2x^3)-(x^2-2x)=0$ Вынесение общих множителей в скобках:
   Из первой скобки вынесем $x^3$, из второй — $x$:
   $x^3(x-2)-x(x-2)=0$ Вынесение общего выражения $(x-2)$ за скобку:
   $(x-2)(x^3-x)=0$ Дальнейшее разложение:
   Во второй скобке можно вынести $x$:
   $x(x-2)(x^2-1)=0$ Применение формулы разности квадратов:
   Разложим $(x^2-1)$ как $(x-1)(x+1)$:
   $x(x-2)(x-1)(x+1)=0$

Способ 2: Вынесение x за скобки (упрощенный) Заметим, что во всех слагаемых есть $x$. Вынесем его сразу:

1. Вынесение $x$:
   $x(x^3-2x^2-x+2)=0$
   Отсюда уже видно первый корень: $x_1=0$. Решение кубического уравнения внутри скобок:
   $x^3-2x^2-x+2=0$
   Группируем:
   $x^2(x-2)-1(x-2)=0$
   $(x-2)(x^2-1)=0$
   $(x-2)(x-1)(x+1)=0$

Нахождение корней Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:

• $x=0$ $x-2=0⟹x=2$ $x-1=0⟹x=1$ $x+1=0⟹x=-1$

Ответ: Уравнение имеет четыре корня: -1; 0; 1; 2. Я могу составить для вас аналогичное уравнение для тренировки или объяснить, как решать подобные задачи, если группировка не видна сразу. Хотите попробовать решить пример с использованием схемы Горнера?