Sin( x/5 - п/3 ) = корень из2 /2

Для решения уравнения $\sin (\frac{x}{5}-\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ воспользуемся общей формулой для корней тригонометрического уравнения $\sin \left(t\right)=a$. 1. Общая формула Уравнение вида $\sin \left(t\right)=A$ имеет решения: $t=\left(-1{)}^k\arcsin \right(A)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Или, в развернутом виде (через две серии корней):

1. $t=\arcsin \left(A\right)+2\pi k$ $t=\pi -\arcsin \left(A\right)+2\pi k$

Для $A=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , значение $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi }{4}$ . 2. Решение через две серии Подставим аргумент $(\frac{x}{5}-\frac{\pi }{3})$ в эти формулы. Серия первая: $\frac{x}{5}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ Переносим $\frac{\pi }{3}$ в правую часть: $\frac{x}{5}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+2\pi k$ Приводим к общему знаменателю ( $\frac{3\pi +4\pi }{12}$ ): $\frac{x}{5}=\frac{7\pi }{12}+2\pi k$ Умножаем всё уравнение на 5: $x_1=\frac{35\pi }{12}+10\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Серия вторая: $\frac{x}{5}-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ (Так как $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ ) Переносим $\frac{\pi }{3}$ : $\frac{x}{5}=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+2\pi k$ Приводим к общему знаменателю ( $\frac{9\pi +4\pi }{12}$ ): $\frac{x}{5}=\frac{13\pi }{12}+2\pi k$ Умножаем всё уравнение на 5: $x_2=\frac{65\pi }{12}+10\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 3. Запись ответа Ответ можно записать либо двумя сериями, либо одной общей формулой: Вариант 1 (подробный):

• $x_1=\frac{35\pi }{12}+10\pi k$ $x_2=\frac{65\pi }{12}+10\pi k$

Вариант 2 (общий): $x=5\cdot \left(\right(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+\pi k),k\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо найти корни на определенном промежутке, я могу помочь с их отбором.