Решите тригонометрические уравнения: 1. 2sin 2 x – 5sin x – 7 = 0 2. 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0 3. 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0 4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0 5 . 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0 6 . 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9

Ниже представлены подробные решения предложенных тригонометрических уравнений. 1. $2{\sin }^{2}x-5\sin x-7=0$ Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Пусть $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$. $2t^2-5t-7=0$Находим дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-7)=25+56=81$ $t=\frac{5\pm 9}{4}$

1. $t_1=\frac{14}{4}=3.5$ (Не подходит, так как $\left|\sin x\right|\le 1$) $t_2=\frac{-4}{4}=-1$

Обратная замена: $\sin x=-1$ $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . 2. $12{\sin }^{2}x+20\cos x-19=0$ Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $12(1-{\cos }^{2}x)+20\cos x-19=0$ $12-12{\cos }^{2}x+20\cos x-19=0$ $-12{\cos }^{2}x+20\cos x-7=0$ $12{\cos }^{2}x-20\cos x+7=0$ Пусть $t=\cos x$, $\left|t\right|\le 1$: $D/4=(-10{)}^2-12\cdot 7=100-84=16$ $t=\frac{10\pm 4}{12}$

1. $t_1=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}>1$ (Нет корней) $t_2=\frac{6}{12}=0.5$

Обратная замена: $\cos x=\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . 3. $3{\sin }^{2}x+14\sin x\cos x+8{\cos }^{2}x=0$ Это однородное уравнение второго порядка. Разделим обе части на ${\cos }^{2}x$ (при условии $\cos x\ne 0$): $3{\text{tg}}^{2}x+14\text{tg}x+8=0$ Пусть $t=\text{tg}x$: $D={14}^2-4\cdot 3\cdot 8=196-96=100$ $t=\frac{-14\pm 10}{6}$

1. $t_1=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}x=-\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $t_2=\frac{-24}{6}=-4x=-\text{arctg}\left(4\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right)+\pi n;-\text{arctg}\left(4\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . 4. $7\text{tg}x-10\text{ctg}x+9=0$ Заменим $\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}$ . Пусть $t=\text{tg}x$: $7t-\frac{10}{t}+9=0$ $7t^2+9t-10=0$ (при $t\ne 0$) $D=9^2-4\cdot 7\cdot \left(-10\right)=81+280=361={19}^2$ $t=\frac{-9\pm 19}{14}$

1. $t_1=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}x=\text{arctg}\left(\frac{5}{7}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $t_2=\frac{-28}{14}=-2x=-\text{arctg}\left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{5}{7}\right)+\pi n;-\text{arctg}\left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . 5. $5{\sin }^{2}x-14{\cos }^{2}x+2=0$ Используем тождество $2=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$: $5{\sin }^{2}x-14{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=0$ $7{\sin }^{2}x-12{\cos }^{2}x=0$ $7{\sin }^{2}x=12{\cos }^{2}x$ ${\text{tg}}^{2}x=\frac{12}{7}$ $\text{tg}x=\pm \sqrt{\frac{12}{7}}=\pm 2\sqrt{\frac{3}{7}}$ Ответ: $\pm \text{arctg}\left(2\sqrt{\frac{3}{7}}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . 6. $9\cos 2x-4{\cos }^{2}x=11{\sin }^{2}x+9$ Используем формулу двойного угла $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$: $9({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-4{\cos }^{2}x-11{\sin }^{2}x-9=0$ $9{\cos }^{2}x-9{\sin }^{2}x-4{\cos }^{2}x-11{\sin }^{2}x-9=0$ $5{\cos }^{2}x-20{\sin }^{2}x-9=0$ Заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $5(1-{\sin }^{2}x)-20{\sin }^{2}x-9=0$ $5-5{\sin }^{2}x-20{\sin }^{2}x-9=0$ $-25{\sin }^{2}x-4=0$ $25{\sin }^{2}x=-4$ ${\sin }^{2}x=-\frac{4}{25}$ Так как квадрат вещественного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений. Ответ: корней нет. Я могу также помочь с отбором корней на заданном промежутке для любого из этих уравнений. Желаете продолжить?