3^(4x+3)<(1/9)^(x^2/2)

Для решения данного показательного неравенства необходимо привести обе части к одному основанию. $3^{4x+3}<{\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{x^2}{2}}$ 1. Приведение к общему основанию Левая часть имеет основание 3. Правую часть также можно выразить через степень тройки, используя свойства степеней:

• $\frac{1}{9}=9^{-1}=(3^2{)}^{-1}=3^{-2}$

Подставим это в исходное неравенство: $3^{4x+3}<(3^{-2}{)}^{\frac{x^2}{2}}$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $3^{4x+3}<3^{-2\cdot \frac{x^2}{2}}$ $3^{4x+3}<3^{-x^2}$2. Переход к алгебраическому неравенству Так как основание степени $3>1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $4x+3<-x^2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2+4x+3<0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни соответствующего уравнения $x^2+4x+3=0$. Можно воспользоваться теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-4$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=3$

Корни уравнения: $x_1=-3$ $x_2=-1$ Рассмотрим параболу $y=x^2+4x+3$. Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Выражение меньше нуля на промежутке между корнями. Визуально на числовой прямой:

• $+$ при $x\in (-\infty ;-3)$ $-$ при $x\in (-3;-1)$ $+$ при $x\in (-1;+\infty )$

Ответ: $x\in (-3;-1)$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложную систему неравенств. Хотите продолжить?