3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0

Чтобы решить уравнение $3{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=0$, воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка условия $\cos x=0$ Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид $3{\sin }^{2}x=0$, откуда $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделив каждый член уравнения на ${\cos }^{2}x$, получаем: $\frac{3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{4\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ $3{\text{tg}}^{2}x-4\text{tg}x+1=0$3. Решение квадратного уравнения относительно $\text{tg}x$ Пусть $t=\text{tg}x$. Тогда уравнение примет вид: $3t^2-4t+1=0$Находим дискриминант: $D=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$Находим корни $t$: $t_1=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$ $t_2=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 4. Обратная подстановка Теперь решим простейшие тригонометрические уравнения:

1. $\text{tg}x=1$
   $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ $\text{tg}x=\frac{1}{3}$
   $x=\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right)+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; $x=\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right)+\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Для проверки вычислений вы можете использовать калькулятор WolframAlpha или ознакомиться с теорией на портале ЯКласс. Укажите, требуется ли выполнить отбор корней на определенном числовом промежутке.