Найдите точку минимума функции y=(х^2-8x+8)eв степени х-6

Точка минимума функции $y=(x^2-8x+8)e^{x-6}$ равна 6. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для вычисления производной функции вида $y=u\cdot v$ воспользуемся правилом $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Пусть $u=x^2-8x+8$ и $v=e^{x-6}$.

1. Находим $u^{\prime }=2x-8$. Находим $v^{\prime }=e^{x-6}\cdot (x-6{)}^{\prime }=e^{x-6}$. Подставляем в формулу:
   $y^{\prime }=(2x-8)e^{x-6}+(x^2-8x+8)e^{x-6}$Выносим общий множитель $e^{x-6}$ за скобки:
   $y^{\prime }=e^{x-6}(2x-8+x^2-8x+8)=e^{x-6}(x^2-6x)$

️ Шаг 2: Определение критических точек Приравниваем производную к нулю: $e^{x-6}(x^2-6x)=0$Так как показательная функция $e^{x-6}$ всегда больше нуля, уравнение сводится к: $x^2-6x=0$ $x(x-6)=0$Критические точки: $x_1=0$ и $x_2=6$. ️ Шаг 3: Исследование знаков производной Определим знаки производной на интервалах, разделенных точками $0$ и $6$:

1. При $x\in (-\infty ,0)$, например $x=-1$: $y^{\prime }\left(-1\right)=e^{-7}(1+6)>0$. Функция возрастает. При $x\in (0,6)$, например $x=1$: $y^{\prime }\left(1\right)=e^{-5}(1-6)<0$. Функция убывает. При $x\in (6,+\infty )$, например $x=7$: $y^{\prime }\left(7\right)=e^1(49-42)>0$. Функция возрастает.

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке $x=6$. Ответ: 6 Хотите ли вы также найти минимальное значение функции в этой точке?