Решите уравнение: (2x+6)/(x^2+x)-(x-3)/(x^2+3x+2)=0

Для решения уравнения $\frac{2x+6}{x^2+x}-\frac{x-3}{x^2+3x+2}=0$ выполним последовательные преобразования. 1. Разложение знаменателей на множители Сначала упростим знаменатели каждой дроби:

• В первой дроби вынесем общий множитель: $x^2+x=x(x+1)$. Во второй дроби разложим квадратный трехчлен $x^2+3x+2$ на множители. Корнями уравнения $x^2+3x+2=0$ по теореме Виета являются $x_1=-1$ и $x_2=-2$. Следовательно, $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

Перепишем уравнение: $\frac{2x+6}{x(x+1)}-\frac{x-3}{(x+1)(x+2)}=0$ 2. Область допустимых значений (ОДЗ) Знаменатели не могут быть равны нулю:

• $x\ne 0$ $x+1\ne 0⟹x\ne -1$ $x+2\ne 0⟹x\ne -2$

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty )$. 3. Приведение к общему знаменателю Общим знаменателем для дробей является выражение $x(x+1)(x+2)$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{(2x+6)(x+2)-(x-3)x}{x(x+1)(x+2)}=0$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Приравняем числитель к нулю и раскроем скобки: $(2x+6)(x+2)-x(x-3)=0$ $2x^2+4x+6x+12-(x^2-3x)=0$ $2x^2+10x+12-x^2+3x=0$ $x^2+13x+12=0$4. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение $x^2+13x+12=0$ с помощью дискриминанта или теоремы Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-13$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=12$

Корнями являются:

1. $x_1=-1$ $x_2=-12$

5. Проверка по ОДЗ

• $x=-1$: Данный корень не входит в ОДЗ (обращает знаменатель в ноль), поэтому он является посторонним. $x=-12$: Данный корень входит в ОДЗ.

Ответ: $-12$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение или помог с другой математической задачей?