Найдите точку минимума функции y=4x-ln(x+8)+12

Для нахождения точки минимума функции выполним последовательное исследование с использованием производной. 1. Определение области определения функции Логарифмическая функция определена только для положительных чисел, поэтому: $x+8>0⟹x>-8$Область определения: $D\left(f\right)=(-8;+\infty )$. 2. Нахождение производной функции Вычислим производную функции $y=4x-\ln (x+8)+12$:

• Производная $4x$ равна $4$. Производная $\ln (x+8)$ равна $\frac{1}{x+8}$ . Производная константы $12$ равна $0$.

$y^{\prime }=4-\frac{1}{x+8}$ 3. Поиск критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $4-\frac{1}{x+8}=0$ $\frac{1}{x+8}=4$ $4(x+8)=1$ $4x+32=1$ $4x=-31$ $x=-7,75$Найденное значение $x=-7,75$ входит в область определения $(-8;+\infty )$. 4. Определение характера точки Проверим, является ли данная точка точкой минимума. Для этого определим знаки производной на интервалах, разделенных точкой $-7,75$:

1. Интервал $(-8;-7,75)$: Возьмем $x=-7,9$.
   $y^{\prime }=4-\frac{1}{-7,9+8}=4-\frac{1}{0,1}=4-10=-6$ .
   Производная отрицательна ( $y^{\prime }<0$), функция убывает. Интервал $(-7,75;+\infty )$: Возьмем $x=0$.
   $y^{\prime }=4-\frac{1}{0+8}=4-0,125=3,875$ .
   Производная положительна ( $y^{\prime }>0$), функция возрастает.

Так как в точке $x=-7,75$ знак производной меняется с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Ответ: -7,75 Хотите, чтобы я рассчитал значение функции в этой точке или помог с исследованием другого графика?