4cos^2x + 4cos (pi/2 + x) - 1 = 0

Для решения уравнения $4{\cos }^{2}x+4\cos (\frac{\pi }{2}+x)-1=0$ воспользуемся формулами приведения и методами решения тригонометрических уравнений. 1. Упрощение уравнения Используем формулу приведения для слагаемого $\cos (\frac{\pi }{2}+x)$ . Согласно правилам: $\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin x$ Подставим это в исходное уравнение: $4{\cos }^{2}x-4\sin x-1=0$2. Приведение к одной функции Чтобы уравнение содержало только одну тригонометрическую функцию, заменим ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$, используя основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $4(1-{\sin }^{2}x)-4\sin x-1=0$ $4-4{\sin }^{2}x-4\sin x-1=0$ $-4{\sin }^{2}x-4\sin x+3=0$Умножим всё уравнение на $-1$ для удобства: $4{\sin }^{2}x+4\sin x-3=0$3. Введение новой переменной Пусть $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2+4t-3=0$Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=16+48=64$Находим корни: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 8}{8}$

• $t_1=\frac{-4+8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-4-8}{8}=-\frac{12}{8}=-1.5$ (не подходит, так как $\left|t\right|\le 1$)

4. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$, используя подходящий корень $t=\frac{1}{2}$ : $\sin x=\frac{1}{2}$ Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Или в общем виде: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n;x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо произвести отбор корней на определенном промежутке, я могу помочь с этим шагом.