4cos^2x+9sinx=5 ^2-квадрат

Для решения уравнения $4{\cos }^{2}x+9\sin x=5$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. 1. Приведение к одной функции Заменим ${\cos }^{2}x$ на $(1-{\sin }^{2}x)$, чтобы уравнение содержало только синусы: $4(1-{\sin }^{2}x)+9\sin x=5$Раскроем скобки: $4-4{\sin }^{2}x+9\sin x=5$Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные (умножим на $-1$ для удобства): $4{\sin }^{2}x-9\sin x+1=0$2. Введение новой переменной Пусть $\sin x=t$, где область значений переменной $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2-9t+1=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-9{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=81-16=65$Корни уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $t_1=\frac{9+\sqrt{65}}{8}$ $t_2=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$ 4. Оценка корней и обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. Для $t_1$: Так как $\sqrt{64}=8$ , то $\sqrt{65}>8$ . Следовательно, $t_1=\frac{9+\sqrt{65}}{8}>\frac{9+8}{8}=\frac{17}{8}=2.125$ . Этот корень не подходит, так как синус не может быть больше 1. Для $t_2$: Так как $8<\sqrt{65}<9$ , то числитель $9-\sqrt{65}$ положителен и меньше 1. Значение $t_2=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$ подходит.

Возвращаемся к переменной $x$: $\sin x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$ 5. Общее решение Используя общую формулу для арксинуса: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{9-\sqrt{65}}{8}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Или запись через две серии решений:

1. $x=\arcsin \left(\frac{9-\sqrt{65}}{8}\right)+2\pi n$ $x=\pi -\arcsin \left(\frac{9-\sqrt{65}}{8}\right)+2\pi n$

Ответ: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{9-\sqrt{65}}{8}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . Если вам нужно найти корни на определенном числовом промежутке, я могу помочь с их отбором.