Найдите корень уравнения 10 в степени log√х 100=x

Для решения уравнения ${10}^{{\log }_{\sqrt{x}}100}=x$ воспользуемся определениями и свойствами логарифмов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Так как переменная $x$ находится в основании логарифма и является результатом возведения в степень, должны выполняться следующие условия:

• $x>0$ (аргумент степени и основание логарифма); $\sqrt{x}\ne 1⟹x\ne 1$ (основание логарифма не может быть равно 1).

ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Преобразуем показатель степени ${\log }_{\sqrt{x}}100$ , используя свойство перехода к новому основанию ( ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ ): ${\log }_{\sqrt{x}}100=\frac{1}{{\log }_{100}\sqrt{x}}$ Заметим, что $100={10}^2$ и $\sqrt{x}=x^{1/2}$ . Используем свойство ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$ : ${\log }_{100}\sqrt{x}={\log }_{{10}^2}{x}^{1/2}=\frac{1/2}{2}{\log }_{10}x=\frac{1}{4}{\log }_{10}x$ Теперь подставим это обратно в показатель: ${\log }_{\sqrt{x}}100=\frac{1}{\frac{1}{4}{\log }_{10}x}=\frac{4}{{\log }_{10}x}$ 3. Решение основного уравнения Подставим полученное выражение в исходное уравнение: ${10}^{\frac{4}{{\log }_{10}x}}=x$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: ${\log }_{10}\left({10}^{\frac{4}{{\log }_{10}x}}\right)={\log }_{10}x$ Используя свойство ${\log }_a{a}^k=k$, получаем: $\frac{4}{{\log }_{10}x}={\log }_{10}x$ Пусть ${\log }_{10}x=t$. Тогда уравнение принимает вид: $\frac{4}{t}=t⟹t^2=4$ Отсюда имеем два корня для $t$:

1. $t_1=2$ $t_2=-2$

4. Нахождение $x$ Вернемся к замене ${\log }_{10}x=t$:

• Случай 1: ${\log }_{10}x=2$
  $x={10}^2=100$ Случай 2: ${\log }_{10}x=-2$
  $x={10}^{-2}=\frac{1}{100}=0,01$

Ответ Оба найденных значения ( $100$ и $0,01$) удовлетворяют ОДЗ. Корень уравнения: 0,01; 100. Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другими основаниями или объяснил конкретный шаг подробнее?