Упростить sin^4x+cos^4x

Для упрощения выражения ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ чаще всего используется метод выделения полного квадрата. Это позволяет свести выражение к функциям двойного угла. Пошаговое решение

1. Дополнение до полного квадрата
   Заметим, что выражение напоминает сумму квадратов $a^2+b^2$. Чтобы превратить его в полный квадрат $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, нам необходимо добавить и затем вычесть удвоенное произведение слагаемых:
   ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x{)}^2+({\cos }^{2}x{)}^2+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ Свертывание в квадрат суммы
   Первые три слагаемых образуют полный квадрат:
   ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ Применение основного тригонометрического тождества
   Известно, что ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Подставим это значение:
   $1^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ Преобразование к двойному углу
   Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Отсюда следует, что ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$, а значит:
   $2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ Подставляем это в наше выражение:
   $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ Дальнейшее упрощение (через косинус двойного угла)
   Если требуется избавиться от квадрата, можно использовать формулу понижения степени ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ :
   $1-\frac{1}{2}\left(\frac{1-\cos 4x}{2}\right)=1-\frac{1-\cos 4x}{4}=\frac{4-1+\cos 4x}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}$

Итоговые варианты ответа В зависимости от требуемой формы, выражение упрощается до:

• $1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$
• $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$
• $\frac{3+\cos 4x}{4}$

Я могу также упростить для вас аналогичное выражение с шестыми степенями ( ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x$), если это необходимо.