((9/4)^log(3,x-1))<((2/3)^log(1/3,x+5))

Для решения неравенства $(\frac{9}{4}{)}^{{\log }_3(x-1)}<(\frac{2}{3}{)}^{{\log }_{1/3}(x+5)}$ приведем обе части к одному основанию и упростим логарифмы. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $x-1>0x>1$ $x+5>0x>-5$

ОДЗ: $x\in (1;+\infty )$ 2. Преобразование оснований Заметим связь между основаниями степеней и логарифмов:

1. Основание левой части: $\frac{9}{4}=(\frac{3}{2}{)}^2=(\frac{2}{3}{)}^{-2}$ Основание логарифма в правой части: $\frac{1}{3}=3^{-1}$

Используем свойство логарифма ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ : ${\log }_{1/3}(x+5)={\log }_{3^{-1}}(x+5)=-{\log }_3(x+5)$Теперь подставим это в исходное неравенство: $\left(\right(2/3{)}^{-2}{)}^{{\log }_3(x-1)}<(2/3{)}^{-{\log }_3(x+5)}$ $(2/3{)}^{-2{\log }_3(x-1)}<(2/3{)}^{-{\log }_3(x+5)}$3. Решение показательного неравенства Так как основание степени $a=2/3$ меньше единицы ( $0<2/3<1$), при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $-2{\log }_3(x-1)>-{\log }_3(x+5)$Умножим на $-1$, снова меняя знак: $2{\log }_3(x-1)<{\log }_3(x+5)$4. Решение логарифмического неравенства Внесем коэффициент $2$ в степень аргумента: ${\log }_3(x-1{)}^2<{\log }_3(x+5)$Так как основание логарифма $3>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется для аргументов: $(x-1{)}^2<x+5$ $x^2-2x+1<x+5$ $x^2-3x-4<0$Решим квадратное уравнение $x^2-3x-4=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $x_1=4$ $x_2=-1$

Решением неравенства $x^2-3x-4<0$ является интервал между корнями: $x\in (-1;4)$5. Пересечение с ОДЗ Необходимо найти общие значения полученного интервала и ОДЗ ( $x>1$):

• Результат решения: $x\in (-1;4)$ ОДЗ: $x\in (1;+\infty )$

Пересечение: $x\in (1;4)$ Ответ: $(1;4)$ Я могу также составить аналогичное задание для закрепления метода или разобрать более сложный случай с переменным основанием логарифма. Хотите попробовать решить похожий пример?