Log2(x-2)+log2(x-4)=3

Для решения уравнения ${\log }_2(x-2)+{\log }_2(x-4)=3$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

• $x-2>0⟹x>2$ $x-4>0⟹x>4$

Общим условием для обоих логарифмов является $x>4$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_2\left(\right(x-2\left)\right(x-4\left)\right)=3$Согласно определению логарифма ( ${\log }_a\left(b\right)=c⟺a^c=b$), перейдем к показательному виду: $(x-2)(x-4)=2^3$ $(x-2)(x-4)=8$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $x^2-4x-2x+8=8$ $x^2-6x+8=8$Вычтем 8 из обеих частей уравнения: $x^2-6x=0$Разложим на множители, вынеся $x$ за скобки: $x(x-6)=0$Отсюда получаем два потенциальных корня:

1. $x_1=0$ $x_2=6$

4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные значения с условием $x>4$:

• $x_1=0$: Не подходит, так как $0<4$ (при подстановке в исходное уравнение под логарифмом получатся отрицательные числа). $x_2=6$: Подходит, так как $6>4$.

Ответ: $x=6$. Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с решением систем логарифмических уравнений. Хотите попробовать решить похожий пример?