Чему равен градиент функции в точке минимума

В математическом анализе и методах оптимизации поведение функции в точках экстремума описывается через свойства её производных. Теоретическое обоснование Согласно необходимым условиям экстремума первого порядка, если дифференцируемая функция $f\left(x\right)$ достигает своего локального минимума в точке $x^{*}$, то её градиент в этой точке равен нулевому вектору. $\nabla f\left(x^{*}\right)=\mathbf{0}$Это означает, что в данной точке касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. Все частные производные по каждой из переменных равны нулю: $\frac{f}{x_1}=0,\frac{f}{x_2}=0,\dots ,\frac{f}{x_n}=0$ Геометрическая и физическая интерпретация

• Геометрия: Градиент указывает направление наискорейшего роста функции. В точке минимума «расти» некуда во всех направлениях (локально), поэтому вектор градиента обнуляется.
• Физика: Если представить поверхность функции как ландшафт, а точку минимума — как дно чаши, то градиент можно соотнести с силой, заставляющей шар катиться вниз. На самом дне чаши поверхность становится плоской, и результирующая сила (уклон) исчезает.

Важные уточнения

1. Стационарная точка: Точка, в которой градиент равен нулю, называется стационарной. Однако не каждая стационарная точка является минимумом. Она также может быть точкой максимума или седловой точкой.
2. Достаточное условие: Чтобы убедиться, что точка с нулевым градиентом является именно минимумом, необходимо проверить матрицу Гессе (матрицу вторых производных) $H\left(x^{*}\right)$. В точке минимума она должна быть положительно определенной:
   $v^{T}H\left(x^{*}\right)v>0$для любого ненулевого вектора $v$. Ограничения: Если минимум находится на границе области определения (условная оптимизация), градиент функции не обязательно будет равен нулю. В этом случае применяются условия Каруша — Куна — Таккера (KKT).

Я могу составить для вас алгоритм проверки типа стационарной точки через определители миноров матрицы Гессе (критерий Сильвестра). Хотите рассмотреть этот пример?