Cos (п/4-х) < корень из 2/2

Чтобы решить неравенство $\cos (\frac{\pi }{4}-x)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ , воспользуемся свойствами тригонометрического круга и четности косинуса. 1. Упрощение аргумента Так как функция косинус четная, то $\cos \left(\alpha \right)=\cos (-\alpha )$. Следовательно: $\cos (\frac{\pi }{4}-x)=\cos (x-\frac{\pi }{4})$ Неравенство принимает вид: $\cos (x-\frac{\pi }{4})<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2. Решение на единичном круге Рассмотрим базовое неравенство $\cos \left(t\right)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ , где $t=x-\frac{\pi }{4}$ . Косинус отвечает за координату по оси $OX$. Значения косинуса меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точкам дуги, расположенным левее прямой $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

• Граничные точки: $\cos \left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $t=\frac{\pi }{4}$ и $t=\frac{7\pi }{4}$ (или $-\frac{\pi }{4}$ ). Интервал для $t$ внутри одного периода $[0;2\pi ]$:
  $\frac{\pi }{4}<t<\frac{7\pi }{4}$ С учетом периодичности ( $2\pi n$):
  $\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

3. Обратная подстановка Теперь заменим $t$ обратно на $x-\frac{\pi }{4}$ : $\frac{\pi }{4}+2\pi n<x-\frac{\pi }{4}<\frac{7\pi }{4}+2\pi n$ Чтобы изолировать $x$, прибавим $\frac{\pi }{4}$ ко всем частям неравенства:

1. Левая часть: $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ Правая часть: $\frac{7\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{8\pi }{4}=2\pi$

Итоговый ответ $\frac{\pi }{2}+2\pi n<x<2\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ В виде интервала: $x\in (\frac{\pi }{2}+2\pi n;2\pi +2\pi n),n\in \mathbb{Z}$ Могу также построить график данной функции или решить аналогичное неравенство с синусом, если это потребуется.