Log 11(2x^2-9x+5)-log 11 x=log 11(x-3)

Для решения уравнения ${\log }_{11}(2x^2-9x+5)-{\log }_{11}x={\log }_{11}(x-3)$ необходимо выполнить следующие шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмическое выражение и решить полученное алгебраическое уравнение. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $2x^2-9x+5>0$ $x>0$ $x-3>0⟹\mathbf{x}\mathbf{>}\mathbf{3}$

При $x>3$ выражение $2x^2-9x+5$ принимает вид: $2(4{)}^2-9(4)+5=32-36+5=1>0$ (верно для всех $x>3.8$ или $x<0.65$). Точное пересечение всех условий: $x>3.88$ (приблизительно) или, если быть точнее, корень уравнения $2x^2-9x+5=0$ через дискриминант $D=81-40=41$, $x=\frac{9\pm \sqrt{41}}{4}$ . Таким образом, $x>\frac{9+\sqrt{41}}{4}\approx 3.85$ . 2. Решение уравнения Используем свойство разности логарифмов: ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$ . ${\log }_{11}\frac{2x^2-9x+5}{x}={\log }_{11}(x-3)$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $\frac{2x^2-9x+5}{x}=x-3$ Умножаем обе части на $x$ (с учетом $x\ne 0$ из ОДЗ): $2x^2-9x+5=x(x-3)$ $2x^2-9x+5=x^2-3x$Переносим все слагаемые в левую часть: $2x^2-x^2-9x+3x+5=0$ $x^2-6x+5=0$3. Нахождение корней Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней $x_1+x_2=6$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=5$

Получаем два корня:

1. $x_1=5$
2. $x_2=1$

4. Проверка по ОДЗ Проверим найденные корни на соответствие условию $x>\frac{9+\sqrt{41}}{4}\approx 3.85$ :

• $x_1=5$: $5>3.85$ — подходит. $x_2=1$: $1$ не больше $3$ — не подходит (при $x=1$ логарифм ${\log }_{11}(x-3)$ не определен).

Ответ: $x=5$. Я могу составить для вас аналогичное уравнение для закрепления навыка решения логарифмов или помочь с проверкой другого примера. Хотите, чтобы я подобрал похожую задачу?