Cos(альфа+п/3)+cos(п/3-альфа)

Для упрощения выражения $\cos (\alpha +\frac{\pi }{3})+\cos (\frac{\pi }{3}-\alpha )$ можно воспользоваться двумя основными методами: формулой суммы косинусов или формулами косинуса суммы и разности аргументов. Способ 1: Формула суммы косинусов Используем тригонометрическую формулу: $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ Пусть $x=\alpha +\frac{\pi }{3}$ , а $y=\frac{\pi }{3}-\alpha$ . Подставим эти значения в формулу:

1. Находим полусумму аргументов:
   $\frac{x+y}{2}=\frac{(\alpha +\frac{\pi }{3})+(\frac{\pi }{3}-\alpha )}{2}=\frac{\frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$ Находим полуразность аргументов:
   $\frac{x-y}{2}=\frac{(\alpha +\frac{\pi }{3})-(\frac{\pi }{3}-\alpha )}{2}=\frac{\alpha +\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}+\alpha }{2}=\frac{2\alpha }{2}=\alpha$ Собираем выражение воедино:
   $\cos (\alpha +\frac{\pi }{3})+\cos (\frac{\pi }{3}-\alpha )=2\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha$ Подставляем табличное значение $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ :
   $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \alpha =\cos \alpha$

Способ 2: Формулы сложения Раскроем каждое слагаемое отдельно, используя формулы:

• $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ $\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

1. Раскрываем первую часть:
   $\cos (\alpha +\frac{\pi }{3})=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$ Раскрываем вторую часть:
   $\cos (\frac{\pi }{3}-\alpha )=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha$ Складываем полученные выражения:
   $(\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3})+(\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha )$ Сокращаем противоположные слагаемые:
   Видно, что $-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$ и $+\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha$ взаимно уничтожаются. Остается:
   $2\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}$ Вычисляем результат:
   $2\cdot \cos \alpha \cdot \frac{1}{2}=\cos \alpha$

Ответ: $\cos \alpha$ Хотите, чтобы я решил аналогичный пример с синусами или помог с другими тригонометрическими преобразованиями?