Sin^2 x/2-cos^2 x/2=cos2x

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества для упрощения левой части и приведения её к общему аргументу с правой частью. 1. Упрощение левой части Левая часть уравнения: ${\sin }^2\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}$ . Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$Если мы вынесем минус за скобки в левой части уравнения, то получим выражение, соответствующее этой формуле, где $\alpha =\frac{x}{2}$ : ${\sin }^2\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}=-({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2})=-\cos (2\cdot \frac{x}{2})=-\cos x$ 2. Подстановка в исходное уравнение Теперь исходное уравнение принимает вид: $-\cos x=\cos 2x$ $\cos 2x+\cos x=0$3. Использование формулы суммы косинусов Применим формулу $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ : $2\cos \frac{2x+x}{2}\cos \frac{2x-x}{2}=0$ $2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $\cos \frac{3x}{2}=0$
   $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Умножим на $\frac{2}{3}$ :
   $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$ $\cos \frac{x}{2}=0$
   $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Умножим на $2$:
   $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Объединение ответов Заметим, что корни второй серии ( $x=\pi ,3\pi ,5\pi \dots$) уже содержатся в первой серии при определенных значениях $n$. Например, если $n=1$, то $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi$ . Поэтому достаточно записать общую формулу. Ответ: $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь с проверкой этих корней на определенном числовом промежутке, если это необходимо.