|cosx|=cosx-2sinx

Для решения уравнения $\left|\cos x\right|=\cos x-2\sin x$ необходимо рассмотреть два случая, зависящих от знака выражения под модулем. Случай 1: $\cos x\ge 0$ В этом случае модуль раскрывается со знаком «плюс»: $\cos x=\cos x-2\sin x$

1. Вычтем $\cos x$ из обеих частей уравнения:
   $0=-2\sin x$ Разделим на $-2$:
   $\sin x=0$ Решением этого уравнения являются точки:
   $x=\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Проверка условия $\cos x\ge 0$:
   • Если $x=2\pi k$ (четные значения $\pi$), то $\cos \left(2\pi k\right)=1>0$. Это подходит. Если $x=\pi +2\pi k$ (нечетные значения $\pi$), то $\cos (\pi +2\pi k)=-1<0$. Это не подходит.

Итого по первому случаю: $x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$. Случай 2: $\cos x<0$ В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»: $-\cos x=\cos x-2\sin x$

1. Перенесем все слагаемые в одну сторону:
   $2\sin x-2\cos x=0$ Разделим на 2:
   $\sin x-\cos x=0$ Разделим обе части на $\cos x$ (так как мы рассматриваем случай $\cos x<0$, деление корректно):
   $\frac{\sin x}{\cos x}-1=0⟹\tan x=1$ Решением уравнения $\tan x=1$ является:
   $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Проверка условия $\cos x<0$:
   • Если $n$ четное (например, $x=\pi /4$), то косинус положителен. Не подходит. Если $n$ нечетное (например, $x=\pi /4+\pi =5\pi /4$), то косинус отрицателен. Это подходит. Таким образом, нам нужна только третья четверть тригонометрического круга:
     $x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ Объединяя результаты обоих случаев, получаем:

1. $x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.