|cosx+sinx|= корень из 2 *sin2x

Для решения уравнения $|\cos x+\sin x|=\sqrt{2}\sin 2x$ воспользуемся методом возведения в квадрат и тригонометрическими тождествами. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Так как левая часть уравнения содержит модуль ( $\left|a\right|\ge 0$), правая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt{2}\sin 2x\ge 0⟹\sin 2x\ge 0$ Это означает, что $2x$ находится в $I$ или $II$ четверти: $2\pi n\le 2x\le \pi +2\pi n⟹\pi n\le x\le \frac{\pi }{2}+\pi n$ 2. Возведение в квадрат Поскольку обе части уравнения неотрицательны (с учетом ОДЗ), возведем их в квадрат: $\left(\right|\cos x+\sin x|{)}^2=(\sqrt{2}\sin 2x{)}^2$ ${\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=2{\sin }^{2}2x$Используя основное тригонометрическое тождество ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$) и формулу двойного угла ( $\sin 2x=2\sin x\cos x$), получаем: $1+\sin 2x=2{\sin }^{2}2x$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\sin 2x$. Тогда уравнение принимает вид: $2t^2-t-1=0$Найдем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$Корни уравнения:

1. $t_1=\frac{1+3}{4}=1$ $t_2=\frac{1-3}{4}=-0.5$

4. Проверка по ОДЗ и обратная подстановка Согласно условию из шага 1, $\sin 2x\ge 0$. Следовательно, корень $t_2=-0.5$ не подходит. Рассмотрим $t_1=1$: $\sin 2x=1$ $2x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 5. Проверка частных случаев Проверим полученный корень подстановкой в исходное уравнение: Если $x=\frac{\pi }{4}$ , то:

• Левая часть: $|\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}|=|\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}|=\sqrt{2}$ Правая часть: $\sqrt{2}\sin (2\cdot \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{2}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$
  Равенство верно.

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам решить другое тригонометрическое уравнение или разобрать графический метод решения для этого примера. Что из этого вам было бы полезно?