Решить логарифмическое уравнение log(4x+1) 7 + log(9x) 7 =0

Для решения уравнения ${\log }_{4x+1}7+{\log }_{9x}7=0$ воспользуемся свойствами логарифмов и методами равносильных преобразований. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Основания логарифмов должны быть положительными и не равными единице:

1. $4x+1>0⟹x>-0,25$ $4x+1\ne 1⟹x\ne 0$ $9x>0⟹x>0$ $9x\ne 1⟹x\ne 1/9$

Объединяя условия, получаем: $x\in (0;1/9)\cup (1/9;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Используем формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ : $\frac{1}{{\log }_7(4x+1)}+\frac{1}{{\log }_7\left(9x\right)}=0$ Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{{\log }_7\left(9x\right)+{\log }_7(4x+1)}{{\log }_7(4x+1)\cdot {\log }_7\left(9x\right)}=0$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: ${\log }_7\left(9x\right)+{\log }_7(4x+1)=0$3. Решение полученного уравнения Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$: ${\log }_7(9x\cdot (4x+1\left)\right)=0$По определению логарифма ( $7^0=1$): $9x(4x+1)=1$ $36x^2+9x-1=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D=b^2-4ac=9^2-4\cdot 36\cdot \left(-1\right)=81+144=225$ $\sqrt{D}=15$ Находим корни: $x_1=\frac{-9+15}{2\cdot 36}=\frac{6}{72}=\frac{1}{12}$ $x_2=\frac{-9-15}{2\cdot 36}=\frac{-24}{72}=-\frac{1}{3}$ 4. Проверка по ОДЗ

• $x_1=1/12$: Число положительное и не равно $1/9$ ( $1/12\approx 0,083$, $1/9\approx 0,11$). Корень подходит. $x_2=-1/3$: Число отрицательное, что противоречит условию $x>0$. Корень не подходит.

Ответ: $1/12$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другими основаниями или объяснил конкретный шаг преобразования подробнее?