2+cos2x=2sinx решить уравнение

Для решения уравнения $2+\cos 2x=2\sin x$ воспользуемся тригонометрическими формулами и сведем его к квадратному уравнению относительно одной функции. 1. Преобразование уравнения Используем формулу двойного угла для косинуса, чтобы выразить всё через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$Подставим это выражение в исходное уравнение: $2+(1-2{\sin }^{2}x)=2\sin x$2. Приведение к квадратному виду Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: $3-2{\sin }^{2}x=2\sin x$ $-2{\sin }^{2}x-2\sin x+3=0$Для удобства умножим обе части на $-1$: $2{\sin }^{2}x+2\sin x-3=0$3. Решение квадратного уравнения Введем замену: $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$. $2t^2+2t-3=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=2^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=4+24=28$Находим корни уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $t=\frac{-2\pm \sqrt{28}}{4}=\frac{-2\pm 2\sqrt{7}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{2}$ 4. Анализ полученных корней Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. Первый корень: $t_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$
   Приблизительное значение: $\sqrt{7}\approx 2.64$ , значит $t_1\approx \frac{1.64}{2}\approx 0.82$ .
   Этот корень подходит, так как $\left|0.82\right|\le 1$. Второй корень: $t_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$
   Приблизительное значение: $t_2\approx \frac{-3.64}{2}\approx -1.82$ .
   Этот корень не подходит, так как $|-1.82|>1$ (синус не может быть меньше $-1$).

5. Обратная замена Решим уравнение для подходящего корня: $\sin x=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$ Используем общую формулу для решения уравнения $\sin x=a$: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{7}-1}{2}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{7}-1}{2}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу также помочь отобрать корни этого уравнения на определенном числовом промежутке, если это необходимо.