Что такое квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида $a{x}^2+bx+c=0$, где $x$ является неизвестной переменной, а $a$, $b$ и $c$ — некоторыми числами (коэффициентами). Основным условием является то, что коэффициент $a\ne 0$, так как в противном случае уравнение превращается в линейное. Основные компоненты и терминология

• $a$ (первый или старший коэффициент): коэффициент при $x^2$. $b$ (второй коэффициент): коэффициент при $x$. $c$ (свободный член): число без переменной.

Классификация уравнений

1. Полные квадратные уравнения: присутствуют все три коэффициента ( $a,b,c\ne 0$). Неполные квадратные уравнения:
   • Если $c=0$, уравнение принимает вид $a{x}^2+bx=0$. Решается вынесением $x$ за скобки. Если $b=0$, уравнение принимает вид $a{x}^2+c=0$. Решается переносом свободного члена и извлечением корня. Если $b=0$ и $c=0$, уравнение принимает вид $a{x}^2=0$. Корень всегда равен нулю.

Алгоритм решения через дискриминант Для нахождения корней полного квадратного уравнения используется универсальный метод через дискриминант ( $D$):

1. Вычисление дискриминанта:
   $D=b^2-4ac$ Анализ значения $D$:
   • Если $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
   • Если $D=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих).
   • Если $D<0$, уравнение не имеет действительных корней.
   Нахождение корней по формуле:
   $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Альтернативные методы решения

• Теорема Виета: Применяется чаще всего для приведенных уравнений (где $a=1$). Согласно теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:
  $x_1+x_2=-b$ $x_1\cdot x_2=c$ Разложение на множители: Представление выражения $a{x}^2+bx+c$ в виде $a(x-x_1)(x-x_2)=0$. Графический метод: Построение функции $y=a{x}^2+bx+c$. Корнями уравнения являются точки пересечения графика (параболы) с осью $Ox$.

Геометрический смысл Графиком квадратичной функции является парабола. Решение уравнения — это поиск абсцисс точек, в которых парабола пересекает горизонтальную ось $X$. Если парабола не пересекает ось, это соответствует случаю отрицательного дискриминанта. Я могу составить для вас несколько тренировочных примеров разной сложности с пошаговым разбором решений.