Дан квадрат со стороной 1 см. верно ли, что существует действительное число, выражающее длину диагонали этого квадрата? какое это число- рациональное или иррациональное? и как это определить?

Да, такое число существует. Согласно аксиомам геометрии и теории вещественных чисел, любому отрезку прямой соответствует определенное положительное действительное число, выражающее его длину. Определение длины диагонали Для нахождения длины диагонали квадрата используется теорема Пифагора. Если сторона квадрата равна $a$, а диагональ — $d$, то треугольник, образованный двумя сторонами и диагональю, является прямоугольным. Следовательно: $d^2=a^2+a^2$ $d^2=1^2+1^2=2$ $d=\sqrt{2}$ Таким образом, длина диагонали выражается числом $\sqrt{2}$ см. Тип числа: рациональное или иррациональное? Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ , где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональные числа нельзя представить в виде такой дроби. Их десятичная запись представляет собой бесконечную непериодическую дробь ( $\sqrt{2}\approx 1,41421356.\mathrm{.}\mathrm{.}$ ).

Как это определить (Доказательство от противного) Классический способ определить природу этого числа — метод доказательства от противного, предложенный еще в Древней Греции.

1. Предположим, что $\sqrt{2}$ — рациональное число, то есть $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ , где дробь несократима (у $p$ и $q$ нет общих делителей). Возведем обе части в квадрат: $2=\frac{p^2}{q^2}$ , откуда $p^2=2q^2$. Значит, $p^2$ — четное число. Следовательно, и само число $p$ должно быть четным (квадрат нечетного числа всегда нечестен). Пусть $p=2k$. Подставим это значение в уравнение: $(2k{)}^2=2q^{2}4k^2=2q^{2}2k^2=q^2$. Отсюда следует, что $q^2$ тоже четное число, а значит, и $q$ — четное. Противоречие: Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 2. Но в начале мы условились, что дробь несократима.

Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение ложно, и число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде рациональной дроби. Я могу составить для вас аналогичный разбор для других геометрических фигур или помочь с вычислением параметров более сложных многогранников. Хотите рассмотреть свойства диагонали куба?