Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону u = uo cos(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда uo = 30 в, частота ω = 80°/с, фаза φ = 30°. датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 15 в, загорается лампочка. какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Для решения задачи необходимо определить промежутки времени на интервале $t\in [0,1]$, в течение которых выполняется условие $u\left(t\right)\ge 15$. 1. Составление неравенства Подставим заданные значения в формулу напряжения $u=u_0\cos (\omega t+\varphi )$:

• $u_0=30$ В $\omega ={80}^{\circ }/с$ $\varphi ={30}^{\circ }$

Условие включения лампочки: $30\cos (80t+{30}^{\circ })\ge 15$Разделим обе части на 30: $\cos (80t+{30}^{\circ })\ge \frac{1}{2}$ 2. Решение тригонометрического неравенства Вспомним, что $\cos \alpha \ge \frac{1}{2}$ , когда угол $\alpha$ находится в пределах от ${-60}^{\circ }$ до ${60}^{\circ }$ (с учетом периода ${360}^{\circ }\cdot k$). Следовательно: ${-60}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k\le 80t+{30}^{\circ }\le {60}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k$Так как нас интересует только первая секунда работы ( $t\in [0,1]$), рассмотрим случай при $k=0$: ${-60}^{\circ }\le 80t+{30}^{\circ }\le {60}^{\circ }$Вычтем ${30}^{\circ }$ из всех частей неравенства: ${-90}^{\circ }\le 80t\le {30}^{\circ }$Разделим на 80: $-\frac{90}{80}\le t\le \frac{30}{80}$ $-1.125\le t\le 0.375$3. Определение интервала времени Поскольку время не может быть отрицательным ( $t\ge 0$), нас интересует отрезок: $0\le t\le 0.375$Лампочка будет гореть в течение первых 0.375 секунды. Проверим, нет ли других интервалов в течение первой секунды. Если взять $k=1$: $80t+{30}^{\circ }\ge {360}^{\circ }-{60}^{\circ }={300}^{\circ }$ $80t\ge {270}^{\circ }$ $t\ge 3.375$Это значение выходит за рамки первой секунды ( $t>1$). 4. Расчет доли времени в процентах Общее время наблюдения составляет $T=1$ секунда. Время работы лампочки $\Delta t=0.375$ секунды. Доля времени в процентах рассчитывается по формуле: $P=\frac{\Delta t}{T}\cdot 100\%$ $P=\frac{0.375}{1}\cdot 100\%=37.5\%$ Ответ: На протяжении первой секунды лампочка будет гореть 37.5% времени. Хотите, чтобы я проверил аналогичную задачу с другими параметрами частоты или порогового напряжения?