Доказать sin(x-y)sin(x+y)=cos^2y-cos^x

Для доказательства тождества $\sin (x-y)\sin (x+y)={\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x$ воспользуемся стандартными тригонометрическими формулами сложения и основного тригонометрического тождества. 1. Раскрытие синусов суммы и разности Применим формулы синуса суммы и синуса разности углов:

• $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

2. Перемножение выражений Заметим, что произведение представляет собой структуру разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sin x\cos y$ и $b=\cos x\sin y$: $\sin (x-y)\sin (x+y)=(\sin x\cos y{)}^2-(\cos x\sin y{)}^2$ $\sin (x-y)\sin (x+y)={\sin }^{2}x{\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x{\sin }^{2}y$3. Переход к косинусам Так как в правой части доказываемого тождества присутствуют только косинусы, заменим все функции ${\sin }^2\alpha$ на $(1-{\cos }^2\alpha )$, используя основное тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

1. Заменим ${\sin }^{2}x$:
   $(1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x{\sin }^{2}y$ Заменим ${\sin }^{2}y$:
   $(1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}y)$

4. Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки в полученном выражении: ${\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y-({\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y)$ ${\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y$Слагаемые $-{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y$ и $+{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y$ взаимно уничтожаются. Остается: ${\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x$Вывод: Левая часть выражения после преобразований идентична правой части. Тождество доказано. Хотите, чтобы я доказал аналогичное тождество для косинусов или вывел формулу для суммы этих произведений?