Докажите четность (нечётность) y = sin4x + sin2x

Для определения четности или нечетности функции $f\left(x\right)=\sin 4x+\sin 2x$ воспользуемся классическим алгоритмом проверки условия симметрии. 1. Определение области определения Областью определения функции $y=\sin 4x+\sin 2x$ является всё множество действительных чисел: $D\left(f\right)=\mathbb{R}$. Область определения симметрична относительно начала координат, что позволяет проводить дальнейшее исследование. 2. Проверка основного условия Функция $f\left(x\right)$ называется:

• Четной, если $f(-x)=f\left(x\right)$. Нечетной, если $f(-x)=-f\left(x\right)$.

Подставим $-x$ вместо каждого аргумента $x$ в исходное уравнение: $y(-x)=\sin (4\cdot (-x\left)\right)+\sin (2\cdot (-x\left)\right)$ $y(-x)=\sin \left(-4x\right)+\sin \left(-2x\right)$3. Использование свойств тригонометрических функций Известно, что синус является нечетной функцией, то есть для любого $t$ справедливо равенство $\sin (-t)=-\sin t$. Применим это свойство к обоим слагаемым:

1. $\sin \left(-4x\right)=-\sin 4x$ $\sin \left(-2x\right)=-\sin 2x$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение: $y(-x)=-\sin 4x-\sin 2x$4. Анализ результата Вынесем знак минус за скобки: $y(-x)=-(\sin 4x+\sin 2x)$Сравним полученное выражение с исходной функцией $y\left(x\right)=\sin 4x+\sin 2x$: $y(-x)=-y\left(x\right)$Вывод Так как выполняется условие $f(-x)=-f\left(x\right)$, функция является нечетной. График такой функции симметричен относительно начала координат. Я могу также помочь вам исследовать эту функцию на периодичность или найти её производную. Хотите продолжить разбор?