(2cosx+1)(корень-sinх-1)=0

Для решения уравнения $(2\cos x+1)(\sqrt{-\sin x}-1)=0$ необходимо рассмотреть случаи, когда каждый из множителей равен нулю, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под корнем не может быть отрицательным: $-\sin x\ge 0⟹\sin x\le 0$На тригонометрическом круге это соответствует III и IV четвертям, включая границы: $x\in [\pi +2\pi k;2\pi +2\pi k]$. 2. Решение уравнения Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Случай А: $2\cos x+1=0$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ Корни данного уравнения: $x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ $x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k(\text{или}\frac{4\pi }{3}+2\pi k)$ Проверка по ОДЗ ( $\sin x\le 0$):

• Для $x=\frac{2\pi }{3}$ : $\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ — не подходит. Для $x=-\frac{2\pi }{3}$ (или $\frac{4\pi }{3}$ ): $\sin (-\frac{2\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$ — подходит.

Случай Б: $\sqrt{-\sin x}-1=0$ $\sqrt{-\sin x}=1$ $-\sin x=1$ $\sin x=-1$Это частный случай на тригонометрическом круге: $x_3=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$ Данное значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1\le 0$ . 3. Итоговый ответ Объединяя подходящие корни, получаем:

1. $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k;-\frac{\pi }{2}+2\pi n,k,n\in \mathbb{Z}$ . Если вам необходимо произвести отбор корней на конкретном числовом промежутке, я могу помочь с этим расчетом.