Найти производную функции f(x)=1/x+корень x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$ воспользуемся правилами дифференцирования суммы и основных элементарных функций. 1. Подготовка функции Для удобства дифференцирования перепишем слагаемые в виде степенных функций:

• Дробь $\frac{1}{x}$ представим как $x^{-1}$. Корень $\sqrt{x}$ представим как $x^{\frac{1}{2}}$ .

Таким образом, исходная функция принимает вид: $f\left(x\right)=x^{-1}+x^{\frac{1}{2}}$ 2. Применение правил дифференцирования Используем правило производной суммы $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ и общую формулу для степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$.

• Производная первого слагаемого:
  $(x^{-1}{)}^{\prime }=-1\cdot x^{-1-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ Производная второго слагаемого:
  $(x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. Итоговый результат Складываем полученные результаты: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$ Могу также привести данное выражение к общему знаменателю, если это необходимо для дальнейших вычислений.