Докажите тождество (1-cos^2a)(1+tg^2)=tg^2

Для доказательства тождества $(1-{\cos }^2\alpha )(1+{\tan }^2\alpha )={\tan }^2\alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими формулами. Используемые формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, откуда следует, что $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$. Связь тангенса и косинуса: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ . Определение тангенса: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ .

Пошаговое доказательство: Рассмотрим левую часть выражения: $(1-{\cos }^2\alpha )(1+{\tan }^2\alpha )$Шаг 1: Заменим выражение в первой скобке, используя основное тождество: $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$Шаг 2: Заменим выражение во второй скобке, используя формулу связи тангенса и косинуса: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ Шаг 3: Подставим полученные значения обратно в исходное выражение: ${\sin }^2\alpha \cdot \frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ Шаг 4: Выполним умножение: $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ Шаг 5: Согласно определению тангенса, отношение квадрата синуса к квадрату косинуса равно квадрату тангенса: $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha$ Вывод: В результате преобразований левая часть стала равна правой: ${\tan }^2\alpha ={\tan }^2\alpha$Тождество доказано. Я могу также помочь с доказательством других тригонометрических выражений или упрощением сложных функций. Хотите разобрать еще один пример?