Исследовать функцию f(x)=x^4+2x^3 и построить ее график

Для полного исследования функции $f\left(x\right)=x^4+2x^3$ и построения ее графика выполним последовательный анализ по основным этапам. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой: $D\left(f\right)=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$. Четность/нечетность:
  $f(-x)=(-x{)}^4+2(-x{)}^3=x^4-2x^3$.
  Так как $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$, функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Пределы на бесконечности:
  $\underset{x\pm \infty }{\lim }(x^4+2x^3)=\underset{x\pm \infty }{\lim }{x}^4(1+\frac{2}{x})=+\infty$ .

2. Точки пересечения с осями

• С осью $Oy$ (при $x=0$): $f\left(0\right)=0^4+2(0{)}^3=0$. Точка $(0;0)$. С осью $Ox$ (при $f\left(x\right)=0$):
  $x^4+2x^3=0$
  $x^3(x+2)=0$
  Корни: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки: $(0;0)$ и $(-2;0)$.

3. Производная и экстремумы Найдем первую производную: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3+6x^2$ Приравняем ее к нулю для поиска критических точек: $4x^3+6x^2=0$ $2x^2(2x+3)=0$ Критические точки: $x=0$ и $x=-1.5$. Интервалы монотонности:

• $(-\infty ;-1.5)$: $f^{\prime }\left(-2\right)=4\left(-8\right)+6\left(4\right)=-8<0$ (функция убывает). $(-1.5;0)$: $f^{\prime }\left(-1\right)=4\left(-1\right)+6\left(1\right)=2>0$ (функция возрастает). $(0;+\infty )$: $f^{\prime }\left(1\right)=4+6=10>0$ (функция возрастает).

Экстремумы:

• В точке $x=-1.5$ производная меняет знак с $-$ на $+$. Это минимум.
  $f\left(-1.5\right)=(-1.5{)}^4+2(-1.5{)}^3=5.0625-6.75=-1.6875$.
  Точка минимума: $(-1.5;-1.6875)$. В точке $x=0$ производная знак не меняет. Экстремума нет (точка перегиба с горизонтальной касательной).

4. Вторая производная и точки перегиба Найдем вторую производную: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2+12x$ Приравняем к нулю: $12x(x+1)=0$ Точки: $x=0$ и $x=-1$. Интервалы выпуклости:

• $(-\infty ;-1)$: $f^{\prime \prime }\left(-2\right)>0$ — график выпукл вниз ( $\cup$). $(-1;0)$: $f^{\prime \prime }\left(-0.5\right)=12\left(0.25\right)-6=-3<0$ — график выпукл вверх ( $\cap$). $(0;+\infty )$: $f^{\prime \prime }\left(1\right)>0$ — график выпукл вниз ( $\cup$).

Точки перегиба:

1. $x=-1⟹f\left(-1\right)=1-2=-1$. Точка $(-1;-1)$. $x=0⟹f\left(0\right)=0$. Точка $(0;0)$.

5. Сводная таблица характерных точек

Описание графика

1. График выходит из $+\infty$ во второй четверти. Пересекает ось $Ox$ в точке $(-2;0)$. Опускается до глобального минимума в точке $(-1.5;-1.6875)$. Поднимается, меняя характер выпуклости в точке $(-1;-1)$. В точке $(0;0)$ график имеет "ступеньку" (горизонтальный перегиб): он касается оси $Ox$, но не пересекает ее в плане экстремума, а продолжает расти вверх в первую четверть к $+\infty$.

Я могу составить подробную таблицу значений функции для более точного построения графика по точкам. Хотите, чтобы я это сделал?