Докажите тождество sin(45-альфа)/cos(45+альфа)=1 с подробным ответом

Для доказательства тождества $\frac{\sin ({45}^{\circ }-\alpha )}{\cos ({45}^{\circ }+\alpha )}=1$ воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса, а также значениями тригонометрических функций для угла ${45}^{\circ }$. 1. Формулы сложения Нам понадобятся следующие тригонометрические зависимости:

• Синус разности: $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ Косинус суммы: $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

2. Преобразование числителя Применим формулу синуса разности к выражению $\sin ({45}^{\circ }-\alpha )$: $\sin ({45}^{\circ }-\alpha )=\sin {45}^{\circ }\cos \alpha -\cos {45}^{\circ }\sin \alpha$Подставим известные значения $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\sin ({45}^{\circ }-\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )$ 3. Преобразование знаменателя Применим формулу косинуса суммы к выражению $\cos ({45}^{\circ }+\alpha )$: $\cos ({45}^{\circ }+\alpha )=\cos {45}^{\circ }\cos \alpha -\sin {45}^{\circ }\sin \alpha$Подставим значения $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\cos ({45}^{\circ }+\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )$ 4. Сопоставление результатов Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь: $\frac{\sin ({45}^{\circ }-\alpha )}{\cos ({45}^{\circ }+\alpha )}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )}$ Так как числитель и знаменатель полностью идентичны, при сокращении мы получаем: $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )}=1$ Альтернативный способ (через формулы приведения) Можно заметить, что углы $({45}^{\circ }-\alpha )$ и $({45}^{\circ }+\alpha )$ в сумме дают ${90}^{\circ }$: $({45}^{\circ }-\alpha )+({45}^{\circ }+\alpha )={90}^{\circ }$Согласно свойству дополнительных углов, $\sin x=\cos ({90}^{\circ }-x)$. Пусть $x={45}^{\circ }-\alpha$: $\sin ({45}^{\circ }-\alpha )=\cos ({90}^{\circ }-({45}^{\circ }-\alpha \left)\right)=\cos ({90}^{\circ }-{45}^{\circ }+\alpha )=\cos ({45}^{\circ }+\alpha )$Поскольку $\sin ({45}^{\circ }-\alpha )=\cos ({45}^{\circ }+\alpha )$, их отношение равно 1. Тождество доказано.