1. найти частные производные первого и второго порядков от данной функции f(x,y). 2. исследовать на экстремум функцию двух переменных. f(x,y)=ye-x+y, z=x3+8y3-6xy

Частные производные функции $f(x,y)=y{e}^{-x+y}$: $f_x^{\prime }=-y{e}^{-x+y}$, $f_y^{\prime }=(1+y)e^{-x+y}$, $f_{xx}^{\prime \prime }=y{e}^{-x+y}$, $f_{xy}^{\prime \prime }=-(1+y)e^{-x+y}$, $f_{yy}^{\prime \prime }=(2+y)e^{-x+y}$. Функция $z=x^3+8y^3-6xy$ имеет минимум в точке $(1;0,5)$, равный -1. ️ Шаг 1: Нахождение частных производных первого порядка для $f(x,y)$ Для функции $f(x,y)=y{e}^{-x+y}$ вычислим производные по каждой переменной, считая другую константой: $f_x^{\prime }=\frac{}{x}\left(y{e}^{-x+y}\right)=y\cdot e^{-x+y}\cdot \left(-1\right)=-y{e}^{-x+y}$ $f_y^{\prime }=\frac{}{y}\left(y{e}^{-x+y}\right)=1\cdot e^{-x+y}+y\cdot e^{-x+y}\cdot 1=(1+y)e^{-x+y}$ ️ Шаг 2: Нахождение частных производных второго порядка для $f(x,y)$ Дифференцируем полученные результаты повторно: $f_{xx}^{\prime \prime }=\frac{}{x}(-y{e}^{-x+y})=-y\cdot e^{-x+y}\cdot \left(-1\right)=y{e}^{-x+y}$ $f_{xy}^{\prime \prime }=\frac{}{y}(-y{e}^{-x+y})=-(1\cdot e^{-x+y}+y\cdot e^{-x+y})=-(1+y)e^{-x+y}$ $f_{yy}^{\prime \prime }=\frac{}{y}\left(\right(1+y\left)e^{-x+y}\right)=1\cdot e^{-x+y}+(1+y)\cdot e^{-x+y}=(2+y)e^{-x+y}$ ️ Шаг 3: Исследование на экстремум функции $z=x^3+8y^3-6xy$ Найдем стационарные точки, приравняв первые производные к нулю: $z_x^{\prime }=3x^2-6y=0y=\frac{x^2}{2}$ $z_y^{\prime }=24y^2-6x=04y^2-x=0$ Подставим $y$: $4(\frac{x^2}{2}{)}^2-x=x^4-x=x(x^3-1)=0$ . Получаем две точки: $M_1(0,0)$ и $M_2(1,0,5)$. ️ Шаг 4: Проверка достаточных условий экстремума Найдем вторые производные: $A=z_{xx}^{\prime \prime }=6x$, $B=z_{xy}^{\prime \prime }=-6$, $C=z_{yy}^{\prime \prime }=48y$. Вычислим определитель $\Delta =AC-B^2=288xy-36$.

1. Для точки $M_1(0,0)$: $\Delta =0-36=-36<0$. Экстремума нет (седловая точка). Для точки $M_2(1,0,5)$: $\Delta =288\cdot 1\cdot 0,5-36=144-36=108>0$. Экстремум есть.
   Так как $A=6\cdot 1=6>0$, то в точке $M_2$ наблюдается локальный минимум.
   Значение функции: $z(1,0,5)=1^3+8(0,5{)}^3-6(1\left)\right(0,5)=1+1-3=-1$.

Ответ: Производные $f(x,y)$: $f_x^{\prime }=-y{e}^{-x+y}$, $f_y^{\prime }=(1+y)e^{-x+y}$, $f_{xx}^{\prime \prime }=y{e}^{-x+y}$, $f_{xy}^{\prime \prime }=-(1+y)e^{-x+y}$, $f_{yy}^{\prime \prime }=(2+y)e^{-x+y}$. Функция $z$ имеет локальный минимум в точке (1; 0,5), при этом $z_{min}=-1$. Требуется ли вам построение графиков данных функций или проверка на экстремум при наличии дополнительных ограничений?