Вычислите: cos 75 × cos15 , sin 75×sin15, sin 105×cos 15

Для решения этих выражений удобнее всего использовать тригонометрические формулы произведения или формулы приведения. 1. Вычисление $\cos {75}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }$ Используем формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta \left)\right)$

• $\alpha ={75}^{\circ },\beta ={15}^{\circ }$ $\cos {75}^{\circ }\cos {15}^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\cos \right({75}^{\circ }-{15}^{\circ })+\cos ({75}^{\circ }+{15}^{\circ }\left)\right)$ $\cos {75}^{\circ }\cos {15}^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }+\cos {90}^{\circ })$ Подставляем табличные значения ( $\cos {60}^{\circ }=0.5$, $\cos {90}^{\circ }=0$): $\frac{1}{2}(0.5+0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=0.25$ (или $1/4$)

2. Вычисление $\sin {75}^{\circ }\cdot \sin {15}^{\circ }$ Используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right)$

• $\alpha ={75}^{\circ },\beta ={15}^{\circ }$ $\sin {75}^{\circ }\sin {15}^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\cos \right({75}^{\circ }-{15}^{\circ })-\cos ({75}^{\circ }+{15}^{\circ }\left)\right)$ $\sin {75}^{\circ }\sin {15}^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }-\cos {90}^{\circ })$ Подставляем табличные значения: $\frac{1}{2}(0.5-0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=0.25$ (или $1/4$)

3. Вычисление $\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }$ Сначала воспользуемся формулой приведения: $\sin {105}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{75}^{\circ })=\sin {75}^{\circ }$. Теперь используем формулу произведения синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left(\sin \right(\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta \left)\right)$

• $\alpha ={105}^{\circ },\beta ={15}^{\circ }$ $\sin {105}^{\circ }\cos {15}^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\sin \right({105}^{\circ }+{15}^{\circ })+\sin ({105}^{\circ }-{15}^{\circ }\left)\right)$ $\sin {105}^{\circ }\cos {15}^{\circ }=\frac{1}{2}(\sin {120}^{\circ }+\sin {90}^{\circ })$ Подставляем табличные значения ( $\sin {120}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin {90}^{\circ }=1$): $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)=\frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{4}}$ (или $0.25\sqrt{3}+0.5$ )

Итоговые ответы:

1. 0.25
2. 0.25
3. $\frac{\sqrt{3}+2}{4}$

Могу также расписать решение этих примеров через формулы двойного угла, если это необходимо.