Исследование функции y=3/x - 1/x^3

Для проведения полного исследования функции $y=\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}$ воспользуемся стандартным алгоритмом анализа. 1. Область определения и область значений

• Область определения: Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю.
  $D\left(f\right)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Множество значений: Исходя из пределов на бесконечности и экстремумов, $E\left(f\right)=(-\infty ,+\infty )$.

2. Четность, нечетность и периодичность Проверим условие $f(-x)$: $f(-x)=\frac{3}{-x}-\frac{1}{(-x{)}^3}=-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=-(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3})=-f\left(x\right)$ . Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической. 3. Точки пересечения с осями и знаки функции

• Пересечение с осью $Oy$: Нет, так как $x\ne 0$. Пересечение с осью $Ox$ (нули функции):
  $\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}=0\frac{3x^2-1}{x^3}=0$ .
  $3x^2=1x^2=\frac{1}{3}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0.58$ . Знакопостоянство:
  • $f\left(x\right)>0$ на интервалах $(-\frac{1}{\sqrt{3}},0)\cup (\frac{1}{\sqrt{3}},+\infty )$ . $f\left(x\right)<0$ на интервалах $(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{3}})\cup (0,\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: Линия $x=0$.
  $\underset{x{0}^{+}}{\lim }(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3})=\underset{x{0}^{+}}{\lim }\frac{3x^2-1}{x^3}=-\infty$ .
  $\underset{x{0}^{-}}{\lim }(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3})=+\infty$ . Горизонтальная асимптота: Линия $y=0$ (ось $Ox$).
  $\underset{x\pm \infty }{\lim }(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3})=0$ .

5. Исследование функции с помощью первой производной Найдем производную: $y^{\prime }=(3x^{-1}-x^{-3}{)}^{\prime }=-3x^{-2}+3x^{-4}=\frac{-3x^2+3}{x^4}=\frac{3(1-x^2)}{x^4}$ . Критические точки: $x=\pm 1$. Точка $x=0$ — точка разрыва.

• Минимум: $y\left(-1\right)=\frac{3}{-1}-\frac{1}{-1}=-2$ . Координаты: $(-1,-2)$. Максимум: $y\left(1\right)=\frac{3}{1}-\frac{1}{1}=2$ . Координаты: $(1,2)$.

6. Вторая производная и точки перегиба $y^{\prime \prime }=(-3x^{-2}+3x^{-4}{)}^{\prime }=6x^{-3}-12x^{-5}=\frac{6x^2-12}{x^5}=\frac{6(x^2-2)}{x^5}$ . Приравняем к нулю: $x^2=2x=\pm \sqrt{2}\approx \pm 1.41$ .

• На интервалах $(-\sqrt{2},0)$ и $(\sqrt{2},+\infty )$ производная $y^{\prime \prime }>0$ — функция выпукла вниз (вогнута). На интервалах $(-\infty ,-\sqrt{2})$ и $(0,\sqrt{2})$ производная $y^{\prime \prime }<0$ — функция выпукла вверх. Точки перегиба:
  $y\left(\sqrt{2}\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}\approx 1.77$ .
  $y(-\sqrt{2})=-\frac{5}{2\sqrt{2}}\approx -1.77$ .

Сводная характеристика графика График функции представляет собой две ветви. В первой четверти функция выходит из $-\infty$ (вблизи $x=0$), пересекает ось $Ox$ в точке $\approx 0.58$, достигает локального максимума в точке $(1,2)$, после чего начинает плавно убывать, асимптотически приближаясь к оси $Ox$. В третьей четверти график ведет себя симметрично относительно начала координат. Я могу составить таблицу значений для более точного построения графика или построить сам график.