Высота правильной треугольной призмы равна н.прямая проходящая через центроид основания и середину стороны нижнего основания, образует с плоскостью основания угол a(альфа).найти полную поверхность призмы.

Question

Высота правильной треугольной призмы равна н.прямая проходящая через центроид основания и середину стороны нижнего основания, образует с плоскостью основания угол a(альфа).найти полную поверхность призмы.

VikingZed 23.02.2026 18:23

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Полная поверхность призмы равна $6 \sqrt{3} H^{2} \cot α (\cot α + 1) 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha open paren cotangent alpha plus 1 close paren$ . ️ Шаг 1: Определение связи между высотой и стороной основания Пусть $a a$ — сторона правильного треугольника в основании призмы, а $H cap H$ — её высота. Рассмотрим центроид $O_{1} cap O sub 1$ верхнего основания и точку $M cap M$ — середину стороны нижнего основания. Пусть $O cap O$ — проекция $O_{1} cap O sub 1$ на плоскость нижнего основания (центроид нижнего основания). Треугольник $△ O_{1} O M triangle cap O sub 1 cap O cap M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O cap O$ , где $O_{1} O = H cap O sub 1 cap O equals cap H$ . Угол $∠ O_{1} M O = α angle cap O sub 1 cap M cap O equals alpha$ по условию. В правильном треугольнике со стороной $a a$ расстояние от центра (центроида) до середины стороны равно радиусу вписанной окружности $r r$ : $O M = r = \frac{a \sqrt{3}}{6} cap O cap M equals r equals the fraction with numerator a the square root of 3 end-root and denominator 6 end-fraction$ Из прямоугольного треугольника $△ O_{1} O M triangle cap O sub 1 cap O cap M$ : $\tan α = \frac{O_{1} O}{O M} = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{6}} = \frac{6 H}{a \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3} H}{a} tangent alpha equals the fraction with numerator cap O sub 1 cap O and denominator cap O cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap H and denominator the fraction with numerator a the square root of 3 end-root and denominator 6 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator 6 cap H and denominator a the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 2 the square root of 3 end-root cap H and denominator a end-fraction$ Отсюда выразим сторону основания $a a$ : $a = \frac{2 \sqrt{3} H}{\tan α} = 2 \sqrt{3} H \cot α a equals the fraction with numerator 2 the square root of 3 end-root cap H and denominator tangent alpha end-fraction equals 2 the square root of 3 end-root cap H cotangent alpha$ ️ Шаг 2: Вычисление площади поверхностей Площадь одного основания правильной треугольной призмы: $S_{о с н} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{(2 \sqrt{3} H \cot α)^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{12 H^{2} \cot^{2} α \cdot \sqrt{3}}{4} = 3 \sqrt{3} H^{2} \cot^{2} α cap S sub о с н end-sub equals the fraction with numerator a squared the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator open paren 2 the square root of 3 end-root cap H cotangent alpha close paren squared center dot the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator 12 cap H squared cotangent squared alpha center dot the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals 3 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent squared alpha$ Площадь боковой поверхности: $S_{б о к} = P \cdot H = 3 a H = 3 \cdot (2 \sqrt{3} H \cot α) \cdot H = 6 \sqrt{3} H^{2} \cot α cap S sub б о к end-sub equals cap P center dot cap H equals 3 a cap H equals 3 center dot open paren 2 the square root of 3 end-root cap H cotangent alpha close paren center dot cap H equals 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha$ ️ Шаг 3: Нахождение полной поверхности Полная поверхность $S_{п о л н} cap S sub п о л н end-sub$ складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности: $S_{п о л н} = 2 S_{о с н} + S_{б о к} = 2 \cdot (3 \sqrt{3} H^{2} \cot^{2} α) + 6 \sqrt{3} H^{2} \cot α cap S sub п о л н end-sub equals 2 cap S sub о с н end-sub plus cap S sub б о к end-sub equals 2 center dot open paren 3 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent squared alpha close paren plus 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha$ $S_{п о л н} = 6 \sqrt{3} H^{2} \cot^{2} α + 6 \sqrt{3} H^{2} \cot α = 6 \sqrt{3} H^{2} \cot α (\cot α + 1) cap S sub п о л н end-sub equals 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent squared alpha plus 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha equals 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha open paren cotangent alpha plus 1 close paren$ Ответ: $S_{п о л н} = 6 \sqrt{3} H^{2} \cot α (\cot α + 1) cap S sub п о л н end-sub equals 6 the square root of 3 end-root cap H squared cotangent alpha open paren cotangent alpha plus 1 close paren$ Требуется ли вам выразить итоговую формулу через функции двойного угла или найти объем данной призмы?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов