Исследуйте функцию на монотонность: а) y=x^4-2x^2-3 б) y=5x^5-1 в) y=(1-2x)/(3+2x)

а) $y=x^4-2x^2-3$ ️ Шаг 1: Нахождение производной и критических точек Вычисляем производную функции: $y^{\prime }=4x^3-4x$Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю: $4x(x^2-1)=0⟹x_1=-1,x_2=0,x_3=1$️ Шаг 2: Определение знаков производной Анализируем знак $y^{\prime }$ на интервалах:

1. $(-\infty ;-1)$: $y^{\prime }\left(-2\right)=4\left(-8\right)-4\left(-2\right)=-24<0$ (функция убывает). $(-1;0)$: $y^{\prime }\left(-0.5\right)=4\left(-0.125\right)-4\left(-0.5\right)=1.5>0$ (функция возрастает). $(0;1)$: $y^{\prime }\left(0.5\right)=4\left(0.125\right)-4\left(0.5\right)=-1.5<0$ (функция убывает). $(1;+\infty )$: $y^{\prime }\left(2\right)=4\left(8\right)-4\left(2\right)=24>0$ (функция возрастает).

Ответ: Функция возрастает на интервалах $[-1;0]$ и $[1;+\infty )$; функция убывает на интервалах $(-\infty ;-1]$ и $[0;1]$. б) $y=5x^5-1$ ️ Шаг 1: Исследование производной Находим производную: $y^{\prime }=25x^4$Приравниваем к нулю: $25x^4=0⟹x=0$. ️ Шаг 2: Анализ монотонности Выражение $25x^4$ всегда неотрицательно ( $y^{\prime }\ge 0$) для любого $x\in \mathbb{R}$. Производная обращается в нуль только в одной точке, не меняя знака. Ответ: Функция является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty ;+\infty )$. в) $y=\frac{1-2x}{3+2x}$ ️ Шаг 1: Область определения и производная Область определения: $3+2x\ne 0⟹x\ne -1.5$. Вычисляем производную по правилу дифференцирования дроби: $y^{\prime }=\frac{(1-2x{)}^{\prime }(3+2x)-(1-2x\left)\right(3+2x{)}^{\prime }}{(3+2x{)}^2}=\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{-6-4x-2+4x}{(3+2x{)}^2}=\frac{-8}{(3+2x{)}^2}$ ️ Шаг 2: Определение знака Числитель производной $-8<0$, а знаменатель $(3+2x{)}^2>0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $y^{\prime }<0$ на всей области определения. Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty ;-1.5)$ и $(-1.5;+\infty )$. Нужно ли вам построить графики этих функций для визуализации полученных результатов?