Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функции f(x)=-1\(x-1)^2

Для исследования функции $f\left(x\right)=-\frac{1}{(x-1{)}^2}$ на монотонность и экстремумы воспользуемся методами дифференциального исчисления. 1. Область определения функции Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю: $(x-1{)}^2=0x=1$. Область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$. 2. Нахождение производной Перепишем функцию в виде степенной для удобства дифференцирования: $f\left(x\right)=-(x-1{)}^{-2}$Применим правило дифференцирования сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=-1\cdot \left(-2\right)\cdot (x-1{)}^{-3}\cdot (x-1{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{(x-1{)}^3}$ 3. Критические точки Производная $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{(x-1{)}^3}$ не обращается в нуль ни при каких значениях $x$, так как числитель константа ( $2\ne 0$). Точка $x=1$ является критической (производная не существует), но она не входит в область определения самой функции. Следовательно, экстремумов у функции нет. 4. Исследование на возрастание и убывание Определим знаки производной на интервалах области определения:

• Интервал $(-\infty ;1)$:
  Возьмем пробную точку $x=0$:
  $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{2}{(0-1{)}^3}=\frac{2}{-1}=-2<0$ .
  На этом интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает. Интервал $(1;+\infty )$:
  Возьмем пробную точку $x=2$:
  $f^{\prime }\left(2\right)=\frac{2}{(2-1{)}^3}=\frac{2}{1}=2>0$ .
  На этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает.

Итоговая таблица

Вывод

• Возрастание: функция возрастает на промежутке $(1;+\infty )$. Убывание: функция убывает на промежутке $(-\infty ;1)$. Экстремумы: точки экстремума отсутствуют.

Хотите, чтобы я также нашел асимптоты этой функции для построения графика?