Что больше 100 в 100 степени или 101 в 99 степени

Чтобы определить, какое из чисел больше, сравним ${100}^{100}$ и ${101}^{99}$. Способ 1: Математическое преобразование Для удобства сравнения представим оба числа в виде отношения. Нам нужно понять, больше или меньше единицы дробь: $\frac{{100}^{100}}{{101}^{99}}$ Разложим числитель, чтобы выделить одинаковые показатели степени: $\frac{100\cdot {100}^{99}}{{101}^{99}}=100\cdot {\left(\frac{100}{101}\right)}^{99}$ Теперь преобразуем дробь внутри скобок: $100\cdot {\left(\frac{101-1}{101}\right)}^{99}=100\cdot {(1-\frac{1}{101})}^{99}$ Способ 2: Оценка через число $e$ Известно, что последовательность $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ при росте $n$ стремится к числу Эйлера $e\approx 2.718$. Аналогично для убывающей последовательности: ${(1-\frac{1}{n})}^n\approx \frac{1}{e}$ В нашем случае выражение ${(1-\frac{1}{101})}^{99}$ очень близко к значению $e^{-1}$, так как показатель степени (99) близок к знаменателю дроби (101). Приблизительный расчет: ${(1-\frac{1}{101})}^{99}\approx \frac{1}{e}\approx \frac{1}{2.718}\approx 0.367$ Подставим это значение обратно в наше уравнение: $100\cdot 0.367=36.7$Так как $36.7>1$, это означает, что числитель ( ${100}^{100}$) значительно больше знаменателя ( ${101}^{99}$). Способ 3: Логарифмирование (Проверка) Сравним логарифмы этих чисел по основанию 10:

1. $\log \left({100}^{100}\right)=100\cdot \log \left(100\right)=100\cdot 2=200$ $\log \left({101}^{99}\right)=99\cdot \log \left(101\right)$

Так как $\log \left(101\right)$ лишь немногим больше 2 (примерно $2.0043$): $99\cdot 2.0043\approx 198.42$ Поскольку $200>198.42$, первое число больше. Вывод: ${100}^{100}$ больше, чем ${101}^{99}$. Хотите, я помогу составить аналогичное сравнение для других степенных выражений или объясню свойства числа $e$ подробнее?