Как можно письменно доказать возрастание или убывание функции y= 1/x

Для доказательства монотонности функции $y=\frac{1}{x}$ необходимо рассмотреть её поведение на двух отдельных промежутках: $(-\infty ;0)$ и $(0;+\infty )$, так как в точке $x=0$ функция не определена. Традиционно используется два способа: через определение монотонности и с помощью производной. Способ 1: Использование определения Функция называется убывающей на промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из неравенства $x_2>x_1$ следует, что $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$. Докажем убывание на промежутке $(0;+\infty )$:

1. Пусть $0<x_1<x_2$. Рассмотрим разность значений функции: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}$ . Приведем к общему знаменателю:
   $\frac{x_1-x_2}{x_2\cdot x_1}$ Проанализируем знаки:
   • Так как $x_2>x_1$, то числитель $(x_1-x_2)<0$. Так как оба числа положительны, то знаменатель $(x_2\cdot x_1)>0$.
   Отрицательное число, деленное на положительное, дает отрицательный результат: $\frac{x_1-x_2}{x_2\cdot x_1}<0$ . Следовательно, $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$, что подтверждает убывание функции на данном интервале.

Аналогичное рассуждение применимо для интервала $(-\infty ;0)$, где произведение $x_2\cdot x_1$ также будет положительным (минус на минус). Способ 2: С помощью производной Это наиболее быстрый и универсальный метод для письменного доказательства.

1. Найдем производную функции:
   $y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }={\left(x^{-1}\right)}^{\prime }=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ Проанализируем знак производной:
   • Квадрат любого числа (кроме нуля) всегда положителен: $x^2>0$ для всех $x\ne 0$. Следовательно, дробь $\frac{1}{x^2}$ всегда положительна. Наличие знака «минус» перед дробью делает всё выражение отрицательным: $-\frac{1}{x^2}<0$ при всех допустимых $x$.
   Вывод:
   Согласно достаточному условию монотонности, если $f^{\prime }\left(x\right)<0$ на интервале, то функция убывает на этом интервале. Поскольку $y^{\prime }<0$ на всей области определения, функция $y=\frac{1}{x}$ убывает на $(-\infty ;0)$ и на $(0;+\infty )$.

Важное замечание Нельзя говорить, что функция убывает на всей области определения $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$, так как при переходе через разрыв (от отрицательных значений к положительным) значение функции совершает скачок вверх. Правильно указывать убывание на каждом из промежутков в отдельности. Хотите, чтобы я оформил аналогичное доказательство для более сложной дробно-линейной функции?