Чтобы найти точку минимума функции , необходимо выполнить дифференцирование и исследовать поведение производной. 1. Нахождение производной Данная функция является сложной функцией вида , где . Производная такой функции вычисляется по формуле:
- Находим производную внутренней части:
Подставляем в общую формулу:
Упрощаем выражение, вынося двойку в числителе и сокращая её:
2. Поиск точки минимума Для поиска экстремумов (точек минимума или максимума) необходимо приравнять производную к нулю:
- Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: . Знаменатель всегда положителен для любого , так как дискриминант подкоренного выражения отрицателен, а коэффициент при положителен. Это значит, что функция определена на всей числовой прямой.
3. Проверка знаков производной Проверим, является ли именно точкой минимума:
- При (например, ): числитель отрицателен, производная . Функция убывает. При (например, ): числитель положителен, производная . Функция возрастает.
Так как в точке производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Альтернативный (быстрый) способ Поскольку корень является монотонно возрастающей функцией, минимум всей функции совпадает с минимумом подкоренного выражения. Подкоренное выражение — это парабола с ветвями вверх. Координата вершины такой параболы находится по формуле: Ответ:
- Производная: Точка минимума:
Я могу также вычислить минимальное значение самой функции в этой точке, если это необходимо.
