Как решать?log4 (x+2)*logx 2 =1

Для решения уравнения ${\log }_4(x+2)\cdot {\log }_{x}2=1$ воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы привести их к одному основанию. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

• $x+2>0⟹x>-2$ $x>0$ (основание второго логарифма) $x\ne 1$ (основание второго логарифма)

Итоговое ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Приведем все логарифмы к основанию $2$.

1. Преобразуем первый множитель:
   Используя формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ :
   ${\log }_4(x+2)=\frac{{\log }_2(x+2)}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_2(x+2)}{2}$ Преобразуем второй множитель:
   Используя свойство ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ :
   ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
   $\frac{{\log }_2(x+2)}{2}\cdot \frac{1}{{\log }_{2}x}=1$

3. Решение полученного уравнения Перемножим дроби: $\frac{{\log }_2(x+2)}{2{\log }_{2}x}=1$ Избавимся от знаменателя (учитывая ОДЗ): ${\log }_2(x+2)=2{\log }_{2}x$Внесем коэффициент $2$ в степень аргумента логарифма: ${\log }_2(x+2)={\log }_2\left(x^2\right)$Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $x+2=x^2$ $x^2-x-2=0$4. Нахождение корней Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• $x_1=2$ $x_2=-1$

5. Проверка по ОДЗ

• $x_1=2$: входит в интервал $(0;1)\cup (1;+\infty )$. Подходит. $x_2=-1$: не входит в ОДЗ (так как основание логарифма $x$ должно быть $>0$). Не подходит.

Ответ: $x=2$. Хотите, чтобы я разобрал решение другого логарифмического уравнения или объяснил конкретное свойство подробнее?