Корень (9-4 корень 5)) + корень (14-6корень5))

Question

Корень (9-4 корень 5)) + корень (14-6корень5))

Grisha_74 17.02.2026 18:33

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} the square root of 9 minus 4 the square root of 5 end-root end-root plus the square root of 14 minus 6 the square root of 5 end-root end-root$ , необходимо представить подкоренные выражения в виде полных квадратов по формуле $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} open paren a minus b close paren squared equals a squared minus 2 a b plus b squared$ . 1. Упрощение первого корня: $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} the square root of 9 minus 4 the square root of 5 end-root end-root$ Нам нужно найти такие числа $a a$ и $b b$ , чтобы:

$a^{2} + b^{2} = 9 a squared plus b squared equals 9$ $2 a b = 4 \sqrt{5} ⟹ a b = 2 \sqrt{5} 2 a b equals 4 the square root of 5 end-root ⟹ a b equals 2 the square root of 5 end-root$

Заметим, что если $a = \sqrt{5} a equals the square root of 5 end-root$ и $b = 2 b equals 2$ , то:

$a^{2} + b^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2^{2} = 5 + 4 = 9 a squared plus b squared equals open paren the square root of 5 end-root close paren squared plus 2 squared equals 5 plus 4 equals 9$ (подходит) $2 a b = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = 4 \sqrt{5} 2 a b equals 2 center dot the square root of 5 end-root center dot 2 equals 4 the square root of 5 end-root$ (подходит)

Следовательно: $9 - 4 \sqrt{5} = (\sqrt{5} - 2)^{2} 9 minus 4 the square root of 5 end-root equals open paren the square root of 5 end-root minus 2 close paren squared$ Так как $\sqrt{5} > 2 the square root of 5 end-root is greater than 2$ , корень извлекается без смены знака: $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^{2}} = \sqrt{5} - 2 the square root of 9 minus 4 the square root of 5 end-root end-root equals the square root of open paren the square root of 5 end-root minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 5 end-root minus 2$ 2. Упрощение второго корня: $\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} the square root of 14 minus 6 the square root of 5 end-root end-root$ Аналогично ищем $a a$ и $b b$ :

$a^{2} + b^{2} = 14 a squared plus b squared equals 14$ $2 a b = 6 \sqrt{5} ⟹ a b = 3 \sqrt{5} 2 a b equals 6 the square root of 5 end-root ⟹ a b equals 3 the square root of 5 end-root$

Проверим значения $a = 3 a equals 3$ и $b = \sqrt{5} b equals the square root of 5 end-root$ :

$a^{2} + b^{2} = 3^{2} + (\sqrt{5})^{2} = 9 + 5 = 14 a squared plus b squared equals 3 squared plus open paren the square root of 5 end-root close paren squared equals 9 plus 5 equals 14$ (подходит) $2 a b = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} 2 a b equals 2 center dot 3 center dot the square root of 5 end-root equals 6 the square root of 5 end-root$ (подходит)

Следовательно: $14 - 6 \sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^{2} 14 minus 6 the square root of 5 end-root equals open paren 3 minus the square root of 5 end-root close paren squared$ Так как $3 > \sqrt{5} 3 is greater than the square root of 5 end-root$ (так как $9 > 5 9 is greater than 5$ ), корень извлекается так: $\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^{2}} = 3 - \sqrt{5} the square root of 14 minus 6 the square root of 5 end-root end-root equals the square root of open paren 3 minus the square root of 5 end-root close paren squared end-root equals 3 minus the square root of 5 end-root$ 3. Сложение результатов Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) open paren the square root of 5 end-root minus 2 close paren plus open paren 3 minus the square root of 5 end-root close paren$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = -2 + 3 = 1 the square root of 5 end-root minus 2 plus 3 minus the square root of 5 end-root equals negative 2 plus 3 equals 1$ Ответ: 1 Хотите, чтобы я разобрал похожий пример с другими числами для закрепления метода?

Корень (9-4 корень 5)) + корень (14-6корень5))

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов