Решите неопределенный интеграл. dx/корень х + три корня из х

Для решения интеграла $\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ воспользуемся методом подстановки, чтобы избавиться от иррациональности. 1. Выбор подстановки Чтобы одновременно избавиться от корней степеней 2 и 3, нужно выбрать переменную в степени, равной наименьшему общему кратному (НОК) этих показателей. НОК(2, 3) = 6. Пусть: $x=t^6⟹dx=6t^{5}dt$Тогда выразим корни через новую переменную:

• $\sqrt{x}=(t^6{)}^{1/2}=t^3$ $\sqrt[3]{x}=(t^6{)}^{1/3}=t^2$

2. Преобразование интеграла Подставим полученные значения в исходное выражение: $\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt$ Вынесем $t^2$ в знаменателе и сократим дробь: $\int \frac{6t^5}{t^2(t+1)}dt=6\int \frac{t^3}{t+1}dt$ 3. Деление многочленов Чтобы взять интеграл от рациональной дроби $\frac{t^3}{t+1}$ , выполним деление «уголком» или воспользуемся искусственным приемом (прибавим и вычтем единицу в числителе): $t^3=(t^3+1)-1=(t+1)(t^2-t+1)-1$Следовательно: $\frac{t^3}{t+1}=t^2-t+1-\frac{1}{t+1}$ 4. Интегрирование Теперь вычислим интеграл по частям: $6\int (t^2-t+1-\frac{1}{t+1})dt=6(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln |t+1\left|\right)+C$ Раскроем скобки: $2t^3-3t^2+6t-6\ln |t+1|+C$5. Обратная подстановка Так как $x=t^6$, то $t=x^{1/6}=\sqrt[6]{x}$ . Выразим остальные степени $t$:

• $t^3=(x^{1/6}{)}^3=x^{1/2}=\sqrt{x}$ $t^2=(x^{1/6}{)}^2=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$

Подставляем обратно в результат: $2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln |\sqrt[6]{x}+1|+C$ Ответ: $\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln (\sqrt[6]{x}+1)+C$ Хотите, чтобы я проверил решение другого интеграла или помог с задачей на определенный интеграл?