Log1/3 (x+4)>log1/3 (x^2+2x-2)

Для решения неравенства ${\log }_{1/3}(x+4)>{\log }_{1/3}(x^2+2x-2)$ необходимо выполнить три основных этапа: определить область допустимых значений (ОДЗ), решить само неравенство с учетом свойств логарифмической функции и пересечь полученные результаты. 1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x+4>0⟹\mathbf{x}\mathbf{>}-4$ $x^2+2x-2>0$

Решим квадратное уравнение $x^2+2x-2=0$ через дискриминант: $D=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=4+8=12$ $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}=-1\pm \sqrt{3}$ Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена ветвями вверх. Решением неравенства будут интервалы: $x\in (-\infty ;-1-\sqrt{3})\cup (-1+\sqrt{3};+\infty )$ 2. Решение основного неравенства Поскольку основание логарифма $a=1/3$ меньше единицы ( $0<1/3<1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x+4<x^2+2x-2$Перенесем все члены в одну сторону: $x^2+2x-x-2-4>0$ $x^2+x-6>0$Найдем корни уравнения $x^2+x-6=0$ (по теореме Виета): $x_1=-3,x_2=2$. Для неравенства $x^2+x-6>0$ решением являются интервалы: $x\in (-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$ 3. Пересечение условий Теперь объединим все полученные ограничения в общую систему:

1. $x>-4$ $x<-1-\sqrt{3}\approx -2.73$ или $x>-1+\sqrt{3}\approx 0.73$ $x<-3$ или $x>2$

Анализируем интервалы:

• Левая часть: Пересекаем $x>-4$, $x<-1-\sqrt{3}$ и $x<-3$. Общий интервал: $(-4;-3)$. Правая часть: Пересекаем $x>-4$, $x>-1+\sqrt{3}$ и $x>2$. Общий интервал: $(2;+\infty )$.

Ответ: $x\in (-4;-3)\cup (2;+\infty )$ Я могу также помочь с решением систем неравенств или исследованием других функций, если это потребуется.