Log2(2в степениx-7)=3-x решить уравнение

Для решения уравнения ${\log }_2(2^x-7)=3-x$ воспользуемся определением логарифма и свойствами степеней. 1. Переход к показательному уравнению По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$), данное уравнение равносильно следующему: $2^{3-x}=2^x-7$2. Упрощение выражения Используя свойство степени $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ , преобразуем левую часть: $\frac{2^3}{2^x}=2^x-7$ $\frac{8}{2^x}=2^x-7$ 3. Введение новой переменной Для удобства решения введем замену: Пусть $2^x=t$, где $t>0$ (так как показательная функция всегда положительна). Теперь уравнение принимает вид: $\frac{8}{t}=t-7$ 4. Решение квадратного уравнения Умножим обе части уравнения на $t$ (учитывая, что $t\ne 0$): $8=t^2-7t$ $t^2-7t-8=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=7$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-8$

Корни уравнения: $t_1=8$ $t_2=-1$ 5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t>0$:

1. При $t=-1$:
   $2^x=-1$ — решений нет, так как $2^x$ всегда больше нуля. При $t=8$:
   $2^x=8$
   $2^x=2^3$
   $x=3$

6. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $2^x-7>0$ Подставим найденный корень $x=3$: $2^3-7=8-7=1$ $1>0$ — условие выполняется. Ответ: $x=3$ Хотите, чтобы я разобрал аналогичное уравнение с другим основанием логарифма?