Найти: f`(0),если f(x)=e^x*cosx

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)=e^x\cos x$ в точке $x=0$, воспользуемся правилом диффереицирования произведения функций. 1. Применение правила произведения Если функция представлена в виде $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$, то её производная вычисляется по формуле: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$В данном случае:

• $u\left(x\right)=e^x⟹u^{\prime }\left(x\right)=e^x$ $v\left(x\right)=\cos x⟹v^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$

2. Нахождение общей производной Подставим производные составляющих функций в формулу: $f^{\prime }\left(x\right)=(e^x{)}^{\prime }\cdot \cos x+e^x\cdot (\cos x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$Вынесем $e^x$ за скобки для упрощения: $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(\cos x-\sin x)$3. Вычисление значения в точке $x=0$ Подставим $0$ вместо $x$ в полученное выражение: $f^{\prime }\left(0\right)=e^0(\cos 0-\sin 0)$Известно, что:

• $e^0=1$ $\cos 0=1$ $\sin 0=0$

Следовательно: $f^{\prime }\left(0\right)=1\cdot (1-0)=1\cdot 1=1$Ответ: $f^{\prime }\left(0\right)=1$. Хотите, чтобы я нашел производную второго порядка для этой же функции?